| |
|
|
 Co nam daje Zero ?, A gdyby go tak nie było..
| |
|
|
|
|
Co nam daje zero? Odpowiedź jest banalna: NIC  Ale "nic" w matematyce też musi być jakoś oznaczone, bo jest czymś szczególnym. Mianowicie jest liczbą, ale o pewnej szczególnej własności. 0 jest tzw. elementem neutralnym działania nazywanego "dodawaniem" w zbiorze liczb rzeczywistych. Element neutralny (oznaczmy go przez e) ma tę własność, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi związek a+e=e+a=a. Mało tego. Istnieje tylko jeden jedyny element neutralny, bo gdyby istniał drugi (oznaczmy go przez e') to wtedy zachodziłby oczywisty związek e'=e'+e=e+e'=e, czyli e' jest w istocie tym samym elementem co e. W zbiorze liczb rzeczywistych mamy jeszcze jedno działanie - mnożenie. Elementem neutralnym tego działania jest oczywiście liczba 1. Element neutralny danego działania definiuje nam również tzw. element odwrotny do danej liczby a. Mianowicie element odwrotny do a to taki element b, że zachodzi związek a+b=b+a=e. Element odwrotny do a względem dodawania oznaczamy przez -a.
Z powyższych uproszczonych rozważań widać, że istnienie liczby 0 "porządkuje" nam zbiór liczb rzeczywistych, m.in. dzieląc go na zbiór liczb dodatnich i ujemnych. Mówiąc bardziej "naukowo", istnienie 0 wprowadza w zbiorze liczb rzeczywistych strukturę grupową. Dodanie do tej struktury działania nazywanego "mnożeniem" wraz z kilkoma jeszcze warunkami, nadaje temu zbiorowi strukturę tzw. ciała liczb rzeczywistych.
Nie ma sensu deliberowanie, czemu jest równy wynik z dzielenia liczby skończonej przez 0. W ciele liczb rzeczywistych (i z definicji w żadnym innym ciele) nie definiuje się elementu odwrotnego do 0, tzn. nie istnieje element, który po "pomnożeniu" przez 0 daje 1, czyli nie istnieje liczba 1/0, czyli nie istnieją też liczby postaci a/0. Gdyby taki element b istniał to mielibyśmy: 0*b=1, ale przecież z definicji 0=1+(-1)=1-1, czyli (1-1)*b=b-b=1, co byłoby oczywistą bzdurą!
Ten post był edytowany przez memex: 28/12/2010, 7:17
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
QUOTE(memex @ 27/12/2010, 13:38) W ciele liczb rzeczywistych (i z definicji w żadnym innym ciele)
To teraz na zbiory mówi się Ciała? 
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
QUOTE(emigrant @ 27/12/2010, 14:07) QUOTE(memex @ 27/12/2010, 13:38) W ciele liczb rzeczywistych (i z definicji w żadnym innym ciele)
To teraz na zbiory mówi się Ciała?
Aby pewien zbiór stał się ciałem, potrzebuje dwóch łącznych i przemiennych działań (tzn. odwzorowań przyporządkowujących dowolnej parze elementów tego zbioru inny element tegoż zbioru), zwanych zwyczajowo "dodawaniem" i "mnożeniem" z elementami neutralnymi zwanymi zwyczajowo "zerem" i "jedynką". Ponadto każdy niezerowy element musi być odwracalny. Innymi słowy, ciało jest czymś subtelniejszym niż "zwykły" zbiór. Struktura ciała zawiera w sobie algebrę obowiązującą w danym zbiorze elementów. Oczywiście ciałem jest nie tylko zbiór liczb rzeczywistych. Ciało to pojęcie bardziej ogólne niż ten szczególny zbiór - można konstruować zbiory innych elementów o strukturze ciała.
Mniej subtelnym od ciała pojęciem jest np. pojęcie grupy. Tu wystarczy tylko zbiór i określone na nim jedno działanie łączne. Np. grupa obrotów (lub przesunięć) z działaniem składania tych obrotów (lub przesunięć), etc.
Ten post był edytowany przez memex: 27/12/2010, 14:43
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
O, Memex jak zwykle jasno wykłada nam prawidłowości matematyki.
Poza tym zero zasymilował też język w takich wyrażeniach jak zero tolerancji, czy godzina zero jak i wielu innych. W ogóle teraz dziwnie by brzmiało wyrażenie nic tolerancji, albo godzina nic. Także nie tylko matematyka, ale i my w języku potocznym używamy zera, które świetnie się wpasowuje w nasz język.
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
QUOTE(salvusek @ 27/12/2010, 17:25) O, Memex jak zwykle jasno wykłada nam prawidłowości matematyki. Poza tym zero zasymilował też język w takich wyrażeniach jak zero tolerancji, czy godzina zero jak i wielu innych. W ogóle teraz dziwnie by brzmiało wyrażenie nic tolerancji, albo godzina nic. Także nie tylko matematyka, ale i my w języku potocznym używamy zera, które świetnie się wpasowuje w nasz język.
To tylko kwestia lingwistyczna. To, że zero nazwalibyśmy "nic", nie stanowi żadnego problemu. Tak jak w angielskim zerem nazywa się czysto tłumaczone na polski matematyczne "zero" jak i "nought"/"naught" - które odnoszą się oprócz matematycznego zera, także do znaczenia "nic" właśnie.
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
QUOTE(salvusek @ 27/12/2010, 16:25) O, Memex jak zwykle jasno wykłada nam prawidłowości matematyki.
Dziękuję za miłe słowa 
Krótki i uproszczony opis pojęcia ciała, grupy, elementu neutralnego, etc. wprowadziłem po to, aby jeszcze bardziej uświadomić Użytkownikom, jak ważną i szczególną rolę pełni liczba 0 (oraz 1) w ciele liczb rzeczywistych.
Pojęcie ciała nie jest broń Boże jakimś dzieleniem włosa na czworo. Wręcz przeciwnie. Wychodząc z jego aksjomatów i założeń można udowodnić szereg ogólnych własności i zależności, które w sposób niezawodny muszą być też spełniane w konkretnych zbiorach spełniających warunki bycia ciałem. Warto zdawać sobie sprawę z tego, że zbiór liczb rzeczywistych jest jedynie jednym z wielu przykładów ciała, choć bardzo ważnym. Jego dalszym rozszerzeniem jest np. ciało liczb zespolonych.
W/w pojęcia algebraiczne są świetnym przykładem matematycznej metody uogólniania i abstrahowania, w której udowadnia się jakieś własności i zależności na jak najbardziej ogólnych i abstrakcyjnych strukturach, aby potem nie było potrzeby udowadniania ich na strukturach konkretnych. Wystarczy tylko pokazać, że dana konkretna struktura "podpada" pod przypadek ogólny, a resztę własności mamy już udowodnioną niejako "za darmo". Trzeba jednak uczciwie przyznać, że pokazanie iż dana struktura faktycznie jest np. ciałem nie musi być wcale takie proste. Ale to już zupełnie inna historia...
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
QUOTE(salvusek @ 27/12/2010, 16:25) O, Memex jak zwykle jasno wykłada nam prawidłowości matematyki.
QUOTE Poza tym zero zasymilował też język w takich wyrażeniach jak zero tolerancji, czy godzina zero jak i wielu innych. W ogóle teraz dziwnie by brzmiało wyrażenie nic tolerancji, albo godzina nic. Także nie tylko matematyka, ale i my w języku potocznym używamy zera, które świetnie się wpasowuje w nasz język.
Jest jeszcze pojęcie:"opcja zerowa", czyli potocznie: kasujemy wszystko i zaczynamy od nowa.
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
QUOTE(emigrant @ 28/12/2010, 9:02) Jest jeszcze pojęcie:"opcja zerowa", czyli potocznie: kasujemy wszystko i zaczynamy od nowa.
No i jest jeszcze słynne swego czasu powiedzonko "Pan jest zerem!"
W świetle poprzednich postów okazuje się, że nie nie było to określenie pejoratywne. Wręcz przeciwnie. Bycie elementem neutralnym w polityce może bardzo dobrze świadczyć o bezstronności ministra Ziobro
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
QUOTE(memex @ 28/12/2010, 9:27) QUOTE(emigrant @ 28/12/2010, 9:02) Jest jeszcze pojęcie:"opcja zerowa", czyli potocznie: kasujemy wszystko i zaczynamy od nowa.
No i jest jeszcze słynne swego czasu powiedzonko "Pan jest zerem!" W świetle poprzednich postów okazuje się, że nie nie było to określenie pejoratywne. Wręcz przeciwnie. Bycie elementem neutralnym w polityce może bardzo dobrze świadczyć o bezstronności ministra Ziobro
Są dwie szkoły: Jedna mówi, że padło: Pan jest ziobrem, panie Zero, druga, że: Pan jest zerem, panie Ziobro... Tak czy inaczej, SLD-Miller wzniósł zero na nieznane dotąd wyżyny...
Ten post był edytowany przez emigrant: 28/12/2010, 9:40
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
Zero zrobiło też karierę w polskiej kinematografii jest taki film "Zero". Albo takie przysłowie od zera do milionera. A co do Ziobry to opowiadam się za tą drugą szkołą. Nie mniej zabłysnąć w czasie posiedzenia komisji śledczej to naprawdę wyniesienie zera na piedestał.
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
Co daje zero? Jak śpiewał poeta: jednostka to nic dopiero zera zrobią z niej miliony.
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
Świetnie Panowie, ale wróćcie do tematu, jakim jest rola zera w ujęciu matematycznym.
Następne posty o tym kto jest zerem czy jednością w polityce czy kinematografii itp. zostaną w zdecydowany sposob wyekspediowane gdzie indziej.
Moderator
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
Wracając do meritum, okazuję się, że liczba 0 w połączeniu z pewnymi postulatami (postulaty Peano) pozwala na skonstruowanie całego zbioru liczb naturalnych. Uzyskuję się to poprzez zdefiniowanie operacji następnika liczby naturalnej i opisaniu, jak te następniki powinny się "zachowywać". Liczba 0 jest więc niejako "generatorem" tego zbioru - "wyrasta" on z tej liczby poprzez swego rodzaju "indukcję".
W algebrze zbiorów odpowiednikiem liczby 0 jest zbiór pusty. Również za jego pomocą można skonstruować zbiór liczb naturalnych (konstrukcja von Neumanna). Zbiór pusty utożsamiamy z zerem, a każdą następną liczbę naturalną utożsamiamy ze zbiorem złożonym z wszystkich poprzedzających liczb naturalnych. W tej konstrukcji - analogicznie do poprzedniej - zbiór pusty (czyli odpowiednik naszego 0) staje się "generatorem" zbioru liczb naturalnych.
Jeżeli chodzi o zastosowania praktyczne, to oczywiście należy jeszcze raz uwydatnić fakt, że istnienie zera umożliwiło obliczenia w pozycyjnych systemach liczbowych i ich automatyzację (maszyny cyfrowe) w dzisiejszych czasach. Wyobrażacie sobie zapis binarny bez pojęcia zera?
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
QUOTE Wyobrażacie sobie zapis binarny bez pojęcia zera?
Nie bardzo. Jednak ciekawi mnie to czy np. pojęcie zera nie było inspiracją dla stworzenia pojęcia zbioru pustego. Wszak teoria zbioru to dziedzina nowoczesna. Przez zbiór rozumie się kolekcję, mnogość elementów. W tej teorii zbiór pusty oznacza zbiór bez żadnego elementu. Pojęcie zbioru pustego czy nazwy pustej zapożyczyła logika. Przez nazwę pustą uznaje się nazwę beż żadnego desygnatu. Jest to też taki logiczny rodzaj zera. Ciekawe czy gdyby zera nie było, to czy te pojęcia by w ogóle powstały. Nie mniej zero jest napędem postępu w samej matematyce choćby w systemie dziesiętnym zero służy jako znacznik miejsca, dzięki czemu możemy operować liczbami zarówno bardzo dużymi, jak i mikroskopijnie małymi. Wracając zaś do systemu rzymskiego, spróbowałem dodać. Chyba mi wyszło. Ale robiłem to troszkę czasu..
3444 - MMMCDXLIIII
+ 394- CCCXCIIII
= 3838 - MMMDCCCCXXXVIII
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
QUOTE(salvusek @ 29/12/2010, 11:40) Jednak ciekawi mnie to czy np. pojęcie zera nie było inspiracją dla stworzenia pojęcia zbioru pustego.
Bardzo możliwe, że tak, choć inspiracja taka byłaby niejako "pod prąd" kolejności konstruowania coraz bardziej złożonych i abstrakcyjnych obiektów matematycznych. We współczesnej matematyce przyjmuje się, że to pojęcie zbioru jest pojęciem bardziej "pierwotnym" niż pojęcie liczby. Jak pokrótce opisałem w poprzednim poście, to właśnie pojęcie liczby konstruowane jest za pomocą pojęcia zbioru, a nie odwrotnie. Liczbę możemy utożsamiać z mocą zbioru, czyli (w grubym uproszczeniu) z ilością elementów danego zbioru. Przy takim podejściu liczba 0 to po prostu moc zbioru pustego. Liczba jest więc pewną (wtórną) abstrakcyjną własnością zbioru, jako pojęcia pierwotnego. Pisałem już kiedyś o pracach Gottloba Frege, który wywiódł prawa arytmetyki liczb (i samo ich istnienie) jedynie z teorii zbiorów i zasad logiki.
|
| |
|
|
1 Użytkowników czyta ten temat (1 Gości i 0 Anonimowych użytkowników)
0 Zarejestrowanych:
Śledź ten temat
Dostarczaj powiadomienie na email, gdy w tym temacie dodano odpowiedź, a ty nie jesteś online na forum.
Subskrybuj to forum
Dostarczaj powiadomienie na email, gdy w tym forum tworzony jest nowy temat, a ty nie jesteś online na forum.
Ściągnij / Wydrukuj ten temat
Pobierz ten temat w innym formacie lub zobacz wersję 'do druku'.
|
|
|
|
|
27/12/2010, 13:38
