|
|
Co nam daje Zero ?, A gdyby go tak nie było..
|
|
|
|
Liczba zero. Już teraz dla nas wydaje się być oczywiste posiadanie zera. Ale przecież nawet starożytni Grecy, którzy wręcz skokowo rozwijali nauki przyrodnicze i matematykę, godni podziwu za dokonania inżynieryjne, napotykali na trudności w policzeniu jabłek w pustym pudełku. Nie wymyślili nawet nazwy "nic". Rzymianom również brakło zera, choć wykształcili swoje sposoby liczenia. A więc jak to się stało, że powstało zero ? Sądzi się, że symbol oznaczający nic zrodził się tysiąc lat temu. Pojęcia zera w różnych postaciach używała cywilizacja Majów. Nieco później astronom Klaudiusz Ptolemeusz, inspirowany nauką Babilończyków, stosował symbol pokrewny naszemu zeru dla zaznaczenia miejsca w zapisie pozycyjnym. W tej roli zero pozwalało odróżnić takie liczby jak 75 a 705, które Babilończycy rozróżniali na podstawie kontekstu. Zero pełniło rolę tak jakby przecinka. Hinduski matematyk Bragmagupta z VII w. traktował zero jako liczbę, a nie tylko znacznik. Określił reguły jego stosowania : a- suma liczb dodatnich i zera jest liczbą dodatnią, b- suma zera i zera jest równa zeru. Takim podejście Brahmagupta wyprzedził swoich współczesnych. Na zachodzie dopiero Leonardo z Pizy w swoim dziele "Liber Abaci" (1202) recypował hindusko - arabski system liczbowy. Docenił on potęgę dodatkowego symbolu zero w połączeniu z hinduskimi znakami 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Z zerem jednak nadal był problem polegający na tym, że nie do końca było wiadomo jak je traktować. Właściwy kierunek nadał Brahmagupta choć sam przyznawał, że jego wskazówki są dość jeszcze nie jasne ponieważ nie wiadomo było do końca jak zero wprowadzić do istniejącego sytemu arytmetyki. Niektóre rozwiązania narzucały się same. Zero doskonale łączyło się z dodawanie i mnożeniem, ale odejmowanie i dzielenie potrzebowały inny rozwiązań aby zero dostosować do rozwiązań arytmetyki. Idąc śladami Brahmagupty inny hinduski matematyk Bhaskara rozważał dzielnie przez 0 i doszedł do wniosku, że za wynik dzielenia przez 0 należy uznać nieskończoność. To brzmi rozsądnie ponieważ dzielenie przez liczbę małą daje bardzo duży wynik. Jednak przyjmując takie rozwiązanie stajemy przed jeszcze trudniejszym problemem, który wymaga wyjaśnienia pojęcia nieskończoności. Ale to nie temat o tym. Więc do czego służy zero ? Bez zera po prostu nie potrafimy się obejść. Mówimy o zerowej długości geograficznej, zero stopni na skali temperatury etc. Matematyka nie poradziłaby sobie bez zera. Dzięki niemu funkcjonują systemy liczbowe, algebra i geometria. Na osi liczbowej zero oddziela liczby dodatnie od ujemnych. Ludzkość zaakceptowała zero i nauczyła się go używać. Słowem, już teraz życie bez zera wydaje się nie możliwe, a jednak zero powstawało dość długo i początkowo było dziwacznym pojęciem. A czy Wy wyobrażacie sobie życie bez zera ? A gdyby tak go brakło, jak byśmy sobie bez niego poradzili, tak jak Grecy czy Rzymianie, czy może inaczej ?
|
|
|
|
|
|
|
|
QUOTE(salvusek @ 24/12/2010, 12:07) Idąc śladami Brahmagupty inny hinduski matematyk Bhaskara rozważał dzielnie przez 0 i doszedł do wniosku, że za wynik dzielenia przez 0 należy uznać nieskończoność. To brzmi rozsądnie ponieważ dzielenie przez liczbę małą daje bardzo duży wynik.
Gdyby tak było to nieskończoność razy zero musiałoby dawać każdy wynik:
Niesk. razy 0 = 1 Niesk. razy 0 = 2... itd. To dopiero nie ma sensu.
|
|
|
|
|
|
|
|
QUOTE(emigrant @ 24/12/2010, 13:06) QUOTE(salvusek @ 24/12/2010, 12:07) Idąc śladami Brahmagupty inny hinduski matematyk Bhaskara rozważał dzielnie przez 0 i doszedł do wniosku, że za wynik dzielenia przez 0 należy uznać nieskończoność. To brzmi rozsądnie ponieważ dzielenie przez liczbę małą daje bardzo duży wynik.
Gdyby tak było to nieskończoność razy zero musiałoby dawać każdy wynik: Niesk. razy 0 = 1 Niesk. razy 0 = 2... itd. To dopiero nie ma sensu. Tu chodzi o wyniki dzielenia. Monożenie nie budzi wątpliwości. Chodzi oto, że w wypadku ostatecznej małości, czyli dla samego zera, wynikiem powinna być nieskończność. Jednak nie będę się przy tym upierał bo matematyką zajmuję się hobbystycznie, a w zasadzie to jej teorią tylko.
Ten post był edytowany przez salvusek: 24/12/2010, 15:06
|
|
|
|
|
|
|
|
QUOTE(salvusek @ 24/12/2010, 15:00) Tu chodzi o wyniki dzielenia. Monożenie nie budzi wątpliwości. Chodzi oto, że w wypadku ostatecznej małości, czyli dla samego zera, wynikiem powinna być nieskończność. Jednak nie będę się przy tym upierał bo matematyką zajmuję się hobbystycznie, a w zasadzie to jej teorią tylko. No, to masz problem teoretyczny. W Matematyce mnożenie jest odwrotnością dzielenia. Zawsze. Czyli, jeśli: 6:2=3, to 3 razy dwa =6 jeśli: 6:0=nieskończoność, to nieskończoność razy 0 usiałoby się równać 6. A tak nie jest. Czyli nieskończoność nie może być wynikiem 6:0...
Ten post był edytowany przez emigrant: 24/12/2010, 15:24
|
|
|
|
|
|
|
|
QUOTE(emigrant @ 24/12/2010, 15:23) QUOTE(salvusek @ 24/12/2010, 15:00) Tu chodzi o wyniki dzielenia. Monożenie nie budzi wątpliwości. Chodzi oto, że w wypadku ostatecznej małości, czyli dla samego zera, wynikiem powinna być nieskończność. Jednak nie będę się przy tym upierał bo matematyką zajmuję się hobbystycznie, a w zasadzie to jej teorią tylko. No, to masz problem teoretyczny. W Matematyce mnożenie jest odwrotnością dzielenia. Zawsze. Czyli, jeśli: 6:2=3, to 3 razy dwa =6 jeśli: 6:0=nieskończoność, to nieskończoność razy 0 usiałoby się równać 6. A tak nie jest. Czyli nieskończoność nie może być wynikiem 6:0... Zgadzam się. Dlatego też przyjęto w zasadzie, że dzielenie przez 0 rozwiązuje się w inny sposób, który postaram się zilustrować przykładem. Wyobraźmy sobie, że mamy odmierzyć prętem pewien odcinek i przypuśćmy, że pręt ma 7 jednostek. Chcemy wiedzieć ile razy możemy odłożyć pręt wzdłuż jednego odcinka. Jeśli długość jest równa 28 jednostkom, to odpowiedzią jest 28 dzielone przez 7, czyli 28:7=4 i wtedy tę samą zależność możemy wyrazić w postaci iloczynu 28= 7 x 4. I tu masz pełną rację. Ale jak w takim razie wyobrazić sobie 0 dzielone przez 7 ? 0/7=a ułatwiamy sobie rozwiązanie równania przez dodanie a, co po pomnożeniu na krzyż, prowadzi do równoważnego równania 0=7 x a. Jeśli tak, to jedyną możliwą wartością a jest właśnie o tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest równa 0. Oczywiście nie jest to 7, zatem zerem musi być a. Jednak punktem krytycznym jest dzielenie przez 0. Gdybyśmy próbowali postąpić 7/0 tak jak postąpiliśmy z 0/7, otrzymalibyśmy równanie 7/0=b. Po pomnożeniu na krzyż; 0x b=7 otrzymamy nonsensowną równość 0=7. Dopuszczając traktowanie 7/0 jako liczby, szykujemy sobie liczbową katastrofę na wielką skalę. Można tego uniknąć, stwierdzając, że 7/0 nie jest określone. Nie wolno nadawać jakiegokolwiek znaczenie działania liczby 7 lub dowolnej innej przez 0, więc po prostu nie zezwalamy na takie działanie- podobnie jak nie zezwalamy na stawianie przecinka w śro,dku słowa bez popadania w absurd. Czujesz problem z nieskończonością i dlaczego zera nie możemy w pewnych sytuacjach określić nawet mnożąc ?
|
|
|
|
|
|
|
|
Vitam
Wkraczamy na grunt nieintuicyjnych operacji matematycznych. Takie rzeczy jak a/0, 0/0, ∞/∞ to symbole nieoznaczone, których wartość można co prawda wyliczyć w przypadku ilorazu dwu funkcji, ale nie dwu liczb. I wcale nie jest powiedziane, że a/0 to zawsze nieskończoność. Za moich, Panie Dzieju, czasów, uczono tego w liceum A wracając do zera - kupcy i bankierzy średniowiecznych Włoch szybko docenili prostotę operacji matematycznych, opartych na systemie pozycyjnym i zerze. Żeby wyjaśnić: niech ktoś spróbuje policzyć MMDCXCVI + XLI - MCCLXVII bez pomocniczego przejścia na zapis cyframi "arabskimi" Tyle że zapis "arabski" dotarł do Europy dzięki krucjatom i kontaktom z Bliskim Wschodem. Używanie pogańskiego systemu zamiast rzymsko-chrześcijańskiego mogło być w czasach krucjat poczytane wręcz za zdradę, ponoć więc istniały podwójne księgi handlowe - dla ówczesnego fiskusa z wyliczeniami, "jak Pan Bóg przykazał", systemem rzymskim i dla użytku wewnętrznego systemem prostszym.
|
|
|
|
|
|
|
|
QUOTE I wcale nie jest powiedziane, że a/0 to zawsze nieskończoność. Za moich, Panie Dzieju, czasów, uczono tego w liceum Gdybym się sam czegoś nie nauczył, to bym dalej tkwił na poziomie tabliczki mnożenia.
QUOTE Żeby wyjaśnić: niech ktoś spróbuje policzyć MMDCXCVI + XLI - MCCLXVII bez pomocniczego przejścia na zapis cyframi "arabskimi" Kiedyś próbowałem liczyć po rzymsku przy okazji komputacji. Ciekawe rzeczy wychodzą. A co ciekawe choćby w prawie kanonicznym to Kościół jako pierwszy przeszedł w komputacji na cyfry arabskie.
|
|
|
|
|
|
|
|
QUOTE(salvusek) Liczba zero. Już teraz dla nas wydaje się być oczywiste posiadanie zera. Ale przecież nawet starożytni Grecy, którzy wręcz skokowo rozwijali nauki przyrodnicze i matematykę, godni podziwu za dokonania inżynieryjne, napotykali na trudności w policzeniu jabłek w pustym pudełku. Nie wymyślili nawet nazwy "nic". Rzymianom również brakło zera, choć wykształcili swoje sposoby liczenia. Zero pojawia sie w Mezopotamii w czasach hellenistycznych - Russo podaje, że systematyczne jego stosowanie widać od ok. 300 r pne, Roux pisze, ze pojawiło się w czasach Seleukidów. W ptolemejskim Egipcie tez było znane, znał je także Claudius Ptolemaeus. Russo "Zapomniana rewolucja" s. 59 (przyp. 39). Roux "Mezopotamia" s. 298
|
|
|
|
|
|
|
|
Vitam
Gdybym się sam czegoś nie nauczył, to bym dalej tkwił na poziomie tabliczki mnożenia. (Salvusek)
Wiem, że się sporo zmieniło od moich czasów licealnych Ale ja, Panie Dzieju, jestem starym zgredem, co zdawał maturę w 1990 roku...
Zero pojawia sie w Mezopotamii w czasach hellenistycznych - Russo podaje, że systematyczne jego stosowanie widać od ok. 300 r pne (Sargon)
A wiadomo coś o tym, kiedy "wymarło"?
|
|
|
|
|
|
|
|
QUOTE 6:0=nieskończoność, to nieskończoność razy 0 usiałoby się równać 6. A tak nie jest. Czyli nieskończoność nie może być wynikiem 6:0... Na zajęciach z matmy zapisa a/0 nie oznaczał dzielenia przez 0 tylko liczbę tak małą że dążącą do zera, wtedy jest jasne że wynikiem jest liczba dążąca do nieskończoności.
|
|
|
|
|
|
|
|
QUOTE(Coobeck) A wiadomo coś o tym, kiedy "wymarło"? Na dobrą sprawę nigdy Na Zachodzie na pewien czas zniknęło - Russo s 59 daje też namiar na Jamblicha "In Nicomachi arithmeticam introductionem" 1-19 gdzie ów autor ma omawiać rolę zera w arytmetyce. Ale to III/IV w ne (Ptolemaeus to I/II w ne). Nie wiem jednak czy Jamblich to istotnie "ostatnie ogniwo (na Zachodzie)" bo Russo nie o tym traktuje. Niemniej zero było używane w IV w także w Indiach, skad zostało zaimportowane przez Arabów, a przez nich trafiło na Zachód.
|
|
|
|
|
|
|
|
Vitam
Na dobrą sprawę nigdy (Sargon)
Ale chodzi mi konkretnie o Mezopotamię. Czyżby więc zero było tam stosowane bez przerwy od 300 pne do czasu importu z Indii?
|
|
|
|
|
|
|
|
Nie, bo wtedy nie byłoby potrzeby importu Myślę, ze na terenie Mezopotamii póki używano tam pisma klinowego i zapisu sześćdziesiatkowego (na pewno do 30 r pne, jak później, nie wiem).
|
|
|
|
|
|
|
|
QUOTE(sargon @ 26/12/2010, 13:38) Nie, bo wtedy nie byłoby potrzeby importu Myślę, ze na terenie Mezopotamii póki używano tam pisma klinowego i zapisu sześćdziesiatkowego (na pewno do 30 r pne, jak później, nie wiem). Pytanie tylko czy szerzej je wykorzystywali jak hindusi.
|
|
|
|
|
|
|
|
Russo pisze o systematycznym wykorzystywaniu zera. Wg mnie "systematycznie" to jak najbardziej "szerzej". Z tym,ze po szczegóły trzebaby sięgnąć do "The exact sciences in Antiquity" Neugebauera (ew. do włoskiego przekładu tegoż "La scienze esatte nell'Antichita", na który powołuje się Russo).
|
|
|
|
1 Użytkowników czyta ten temat (1 Gości i 0 Anonimowych użytkowników)
0 Zarejestrowanych:
Śledź ten temat
Dostarczaj powiadomienie na email, gdy w tym temacie dodano odpowiedź, a ty nie jesteś online na forum.
Subskrybuj to forum
Dostarczaj powiadomienie na email, gdy w tym forum tworzony jest nowy temat, a ty nie jesteś online na forum.
Ściągnij / Wydrukuj ten temat
Pobierz ten temat w innym formacie lub zobacz wersję 'do druku'.
|
|
|
|